一、由一般鞅驱动的正倒向随机微分方程的比较定理（论文文献综述）
李智雅[1]（2019）在《基于非合作动态博弈的随机切换系统能观性及优化控制》文中认为本文研究的是基于非合作动态博弈的随机切换系统的能观性和优化控制问题。这类系统是一个等级结构:包括一个领导者和有限多个跟随者。领导者制定自己的行动策略,跟随者之间就形成了可能存在纳什均衡的非合作动态博弈。同时这个随机切换微分博弈系统是一个由多子系统和特定切换规则构成的系统。这是一个从控制的观点来看动态博弈问题的新方向,同时也是一个将传统控制问题与博弈论相结合的新框架。论文首先研究了这类随机切换微分博弈系统的精确能观性问题。引入了代数Riccati方程,并通过构造Hamilton方程来将系统模型转化成易于分析处理的一般形式。随后通过线性算子理论和正倒向随机微分方程相关知识,构造系统观测器。这里的观测器不是一般意义上由Gram矩阵构成的,观测器的目的是为了得到随机切换微分博弈系统的对偶系统。然后,推理证明此类对偶的随机微分博弈系统的能观性判据。由得到的随机系统能观测判据,结合系统能观测的定义,给出随机系统能观性的应用,即证明了随机系统能观性、稳定性和Lyapunov方程的解之间的关系。其次,简要介绍了系统的经典二次型性能指标函数和跟随者最优控制。引入了两类优化控制问题:一是特殊的范数形式的线性二次型最优函数,并通过正倒向随机微分方程相关知识证明了此类优化控制的可解性和解的唯一性,并求解优化函数最小数值解。另一类则是引入了算子优化控制,研究算子的最小范数特征。然后,给出了随机系统能控性,能观性和最优控制的等价条件,并通过开环算子理论,倒向随机微分方程和伊藤公式给出相应证明。最后给出随机微分博弈系统在金融领域的一个实例,并对简单随机系统仿真分析。讨论了一个等级结构金融领域的最佳投资组合问题,一个投资人有预期的财富目标,两个投资经理在帮助投资人达到预期目标的前提下,有各自的利益最大化追求,即不同的价值指标泛函,并根据已知信息决定投资组合。对一个简单的随机系统分析,并通过推理证明设计控制器,并通过仿真验证可行性。
刘浩东[2]（2018）在《正倒向随机差分方程理论及其相关的优化问题》文中认为本论文研究的是正倒向随机差分方程（FBS△Es）的可解性理论及其相关的最优控制问题.正倒向随机差分方程可以看作是正倒向随机微分方程（FBSDE）在离散时间框架下的对应,后者从上世纪九十年代发展至今,已经有了许多的研究成果,并且在最优控制,经济金融等领域产生了非常广泛的应用价值.然而,相应的对于正倒向随机差分方程的研究却相对较少,并且其中大部分工作是在数值计算领域,其对差分方程的研究内容主要是对FBSDE的近似.在本论文中,对于FBS△E及其优化问题的讨论着眼于其在离散时间框架下的自身的一些性质特点,而不是作为对连续时间情形的近似.事实上,用随机差分方程刻画问题与用离散时间控制模型解决问题有着广阔的应用前景.例如,数字化技术对信号固定时间离散采样的特点使得对相关问题的建模都需要用到离散时间模型,随着数字化技术的迅速发展,离散时间模型的价值也变得更加重要.本文主要包括四部分内容,在第一部分我们研究了倒向随机差分方程（BS△Es）的相关理论性质,主要是给出问题研究的框架结构并得到一些基本结果,这些结果将在后面章节的理论推导中发挥作用.在第二部分我们研究了完全耦合的线性FBS△E解的存在唯一性理论,我们给出了线性FBS△E可解性的充要条件,并给出了两种特殊情形下的推论,这一结果将用于第三部分非线性情形下的证明.在第三部分我们研究了完全耦合的一般非线性FBS△E解的存在唯一性理论,我们得到了不同情形下方程解存在唯一性的条件,这是第四部分的理论基础,同时,我们在这一部分提出的FBS△E的乘积法则也将继续用在第四部分里.最后,在第四部分,我们对部分耦合与完全耦合FBS△E系统的最优控制问题进行了讨论,并给出了对应于该问题的最大值原理.关于本文的主要工作,详述如下:首先,我们将对倒向随机差分方程（BS△Es）的研究作为工作的起点.在FBS△E中,倒向部分是其中更为重要的部分.基于离散时间下鞅表示定理的形式,对于BS△E的研究主要在两种概率空间框架下,一类是由取值于Rd空间基向量的随机过程生成的有限状态概率空间,该随机过程生成的鞅过程用来作为方程的驱动过程,另一类是由增量独立的鞅过程生成的一般概率空间,该增量独立的鞅过程用来作为方程的驱动过程.另外,基于生成元的具体形式,BS△E也可以分为两类,一类是t时刻生成元依赖于t时刻解的隐式依赖,一类是t时刻生成元依赖于t+1时刻解的显式依赖.两类方程有不同的意义并且不能互相转化.我们在两类概率框架,两类生成元下系统地研究BSAE及FBS△E的相关理论.注意到有限状态概率空间下鞅表示定理的结果在一般意义下并不唯一.唯一性只在一类等价关系下成立.等价关系使得在有限状态概率空间下对于方程形式的构建与变量范数的定义都变得更为复杂.针对这一问题我们在第二章中进行讨论.我们的主要工作是在有限状态概率空间下给出了等价关系的显式刻画,该刻画方式不依赖于概率空间结构,并基于这一结果构造等价类并在其上定义范数.之后我们证明了这一范数与通过鞅过程定义的半范数的关系.另外.我们给出了鞅表示定理的显式表达结果.最后,我们给出了几种类型的BS△E解的存在唯一性理论.相关内容可以参见论文第二章.其次,我们研究了完全耦合的线性FBS△E这一类特殊FBS△E的可解性理论.在有限状态概率空间下.我们具体考察了生成元隐式依赖与生成元显式依赖的随机系数线性FBS△E.在一般状态概率空间下,我们具体考察了生成元隐式依赖与生成元显式依赖的确定齐次项系数线性FBS△E.我们的主要工作是通过将线性FBS△E的可解性问题转化为线性代数方程组的可解性问题,从而给出线性FBS△E解存在唯一的充分必要条件.需要指出的是，与连续时间情形下给出的Riccati方程可解性这一充分条件相比,这里在离散时间情形下的充要条件更容易验证.相关内容可以参见论文第三章.之后,我们研究了完全耦合的非线性FBS△E的可解性理论.在有限状态概率空间下.我们具体讨论了生成元显式依赖的一维非线性FBS△E与生成元隐式依赖的多维非线性FBS△E，在一般状态概率空间下，我们具体讨论了生成元显式依赖的正倒向变量同维非线性FBS△E与生成元隐式依赖的多维非线性FBS△E.我们的主要工作是在生成元显式依赖的情形下给出离散时间下FBS△E的乘积法则，这一技术可以在一定程度起到类似于微分方程中Ito公式的作用.通过这一技术我们得到了单调性条件下生成元显式依赖的有限状态概率空间与一般状态概率空间下FBS△E解的存在唯一性定理.另外,我们通过引入λ-范数，并利用差分方程解的估计,通过压缩映射的方法得到了弱耦合条件下生成元隐式依赖的有限状态概率空间与一般状态概率空间下FBS△E解的存在唯一性定理.相关内容可以参见论文第四章.最后，我们研究了 FBS△E最优控制问题.在有限状态概率空间下，我们研究了多维情形下部分耦合的FBS△E最优控制问题与一维情形下完全耦合的FBS△E最优控制问题.在一般状态概率空间下.我们研究了多维情形下部分耦合的FBS△E最优控制问题与正倒向变量同维情形下完全耦合的FBS△E最优控制问题.这一部分我们的主要工作包括通过FBS△E的乘积法则得到了完全耦合情形下变分方程解的估计,以及通过FBS△E的乘积法则建立的对偶关系而推导得出部分耦合与完全耦合情形下伴随方程与哈密顿系统的合适形式，并最终给出最优控制问题的最大值原理.相关内容可以参见论文第五章.
曹铭[3]（2017）在《Markov机制转移环境下投资保险问题的随机微分博弈研究》文中研究指明微分博弈理论自创立便得到了大量关注,经过半个多世纪的发展,如今已成为科学有效的决策工具.本论文由现实生活中的三个例子,引出研究对象—动态系统的随机微分博弈问题.面对充满着对抗与竞争的社会生活,微分博弈正是解决这些对抗与竞争问题的有利工具.本学位论文针对由It（?）型随机微分方程描述的动态系统,利用随机最优控制和随机微分博弈理论中常用的极大值原理,直接构造法和配方法等,研究由It（?）型随机微分方程驱动的各类动态系统的非合作随机微分博弈问题,给出博弈均衡策略存在条件的判定依据,设计均衡策略的求解方法,并将所得结果应用于现代鲁棒控制中的随机H∞控制,随机H2/H∞控制及投资组合选择问题和保险公司最优投资再保险问题.主要研究结果如下:（i）针对由It（?）随机微分方程驱动的线性随机微分系统,分别在完全信息模式和不完全信息模式下,构建了非零和Nash微分博弈问题和零和微分博弈问题,得到博弈的Nash均衡和鞍点均衡的显式表达.完全信息模式下,均衡策略依赖于状态以及一组耦合的Riccati方程和倒向微分方程的解,而不完全信息模式下,需要借助Kalman-Bucy滤波理论,得到系统的最优滤波和条件估计误差,均衡策略依赖于状态的最优滤波以及耦合的Riccati方程和倒向微分方程的解.（ii）针对由Brownian运动和Poisson过程共同驱动的噪声依赖于状态和控制的线性二次微分博弈问题,得到了该博弈的Nash均衡解,将所得结论应用于现代鲁棒控制中,并推广至不完全信息系统,利用滤波理论,将不完全信息转换为完全信息的情况处理,得到了该系统下的博弈均衡解,研究发现,完全信息和不完全信息模式随机微分博弈系统Nash均衡策略的存在条件等价于得到的两个交叉耦合的矩阵Riccati方程存在解,鞍点均衡策略的存在条件等价于相应的矩阵Riccati方程存在解,不同的是,不完全信息模式下的均衡解依赖于对偶状态满足的滤波方程;最后给出了微分博弈应用于投资组合问题的实例.（iii）研究了线性Markov切换系统的随机微分博弈.首先探讨了线性Markov系统的两人博弈问题,然后,将两人博弈扩展到N（N>2）人博弈,研究奇异Markov系统,讨论了有限时间Nash微分博弈问题,利用配方法,得到有限时间Nash均衡存在的条件是对应的微分Riccati方程存在解.接着,将有限时间的N人Nash微分博弈推广到无限时间,得到无限时间Nash均衡存在的条件是一组代数Riccati方程存在解.最后,将所得理论应用于H2/H∞控制问题,扩展了博弈理论的应用.（iv）针对金融市场中的投资组合以及投资再保险问题,利用前文得到的理论,研究了带Markov机制转换的投资组合问题以及CEV模型下的保险公司投资再保险问题,利用极大值原理,分别得到投资人的最优投资策略和保险公司最优投资再保险策略,为投资人提供了决策依据.
曹姗姗[4]（2016）在《两类倒向随机微分方程解的研究及应用》文中认为1973年法国数学家Bismut在研究最优控制时引入一个线性的倒向随机微分方程（BSDE）,并对此做了系统的研究[2].二十世纪九十年代初,我国数学家彭实戈和法国数学家Pardoux发表了《倒向随机微分方程的适应解的》[4]一文,首次引入非线性倒向随机微分方程理论.之后,BSDE逐渐成为一个非常活跃的领域,从而吸引了更多的学者对其进行进一步的研究.除了倒向随机微分方程的理论本身外,其重要的应用背景也是许多学者的研究领域.在这些文献的参考下,本文主要研究倒向随机微分方程解的相关性质及其在保险定价中的应用.第一章,主要介绍本文的选题背景及相关记号.第二章,主要讨论在非Lipschitz的条件下一类倒向随机微分方程解的存在唯一性、解的稳定性及比较定理.第三章,主要讨论在非Lipschitz的条件下一类新型的倒向双重随机微分方程解的存在唯一性及比较定理.第四章,主要研究倒向随机微分方程在保险定价中的应用,文章首先给出保险的相关理论,再总结倒向随机微分方程在保险定价中的理论依据,从而建立原保险及再保险的数学模型,最后分别推导保险的定价公式.
赵洁,石玉峰[5]（2014）在《一般鞅驱动的倒向随机Volterra积分方程》文中进行了进一步梳理证明了一般鞅驱动的倒向随机Volterra积分方程在Lipschitz假设条件下适应的M-解的存在唯一性,讨论了一般鞅驱动的线性倒向随机Volterra积分方程对应的对偶原理,并利用对偶原理证明了这类方程的比较定理。
杨淑振[6]（2014）在《泛函正倒向随机微分方程理论和G-期望下的最优化》文中指出倒向随机微分方程和正倒向随机微分方程已经广泛应用到很多领域,特别是金融数学和随机控制理论（见[22],[27],[71],[111],[112]和相关的文章）.状态依赖完全耦合的正倒向随机微分方程如下：现在研究正倒向随机微分方程（1）主要有三种方法,i.e.,压缩映射的方法（见[2]和[95]）,四步法（见[68]）和连续性方法（见[52],[88]和[113]）.在[70],Maet al研究了一般的马尔科夫的正倒向随机微分方程.他们归结现有的方法为一致性方法,且克服了正倒向随机微分方程长期存在的问题.拟线性抛物偏微分方程联系到马尔科夫正倒向随机微分方程（见[86],[92]和[95]）,推广了Feynman-Kac公式.近来Dupire在[27]中引入一种新的泛函导数且被Cont和Fourni[16],[17],[18]进一步发展.在Dupire的工作下,Peng和Wang [96]得到了被称为泛函的Feynman-Kac公式的路径依赖的偏微分方程（P-PDE）并联系到一类倒向随机微分方程.进一步,在一定条件下,Peng [84]证明了路径依赖的二阶偏微分方程存在唯一的粘性解.Ekren, Touzi,和Zhang（[36],[34],[35]）给出了全非线性的路径依赖的偏微分方程粘性解新的定义并得到了粘性解唯一性.在第一章第一节,考虑下面泛函正倒向随机微分方程：其中Xs：=X（t）0≤t≤s.Hu和Peng在[52]中首次提出连续性方法,其中主要技术是提出单调性条件.但是[52]和[97]给出的单调性条件不能用于方程（2）.这里的主要困难是方程（2）依赖于解X （t）0≤t≤T的路径.在这一节,采用连续性方法且给出一种新的Lipschitz和单调性条件.这些新的条件涉及X（t）o≤t≤T的路径.因此,称之为积分型Lipschitz和单调性条件.参看正文假设1.1和1.2.特别的,给出了两个例子说明这两个假设并不特殊.在积分Lipschitz和单调性条件下,连续性方法给出方程（2）解的存在唯一性.另外给出了方程（2）和下面的路径依赖经典解的部分关系：其中假设路径依赖微分方程u具有光滑和正则的性质,通过方程（2）解的存在唯一性可以说明这个路径依赖的偏微分方程至多有一个解.Bismut [3]最先提出线性倒向随机微分方程.非线性倒向随机微分方程解的存在唯性由Pardoux和Peng [91]得到Peng [86]和Pardoux, Peng [92]给出了拟线性抛物偏微分方程和倒向随机微分方程的对应关系,推广了经典的Feynman-Kac公式Peng在[89]中指出非马尔科夫倒向随机微分方程对应的偏微分方程是一个开问题.在第一章第二节,考虑非马尔科夫完全耦合的正倒向随机微分方程和路径依赖偏微分方程的对应关系.更精确来说,非马尔科夫正倒向系统如下：在泛函导数的框架下,首先给出路径依赖的偏微分方程.在一般性假设下,建立了路径依赖方程的正则性估计.可以说明,方程（4）的解联系到下面的路径依赖的偏微分方程的解其中在实际问题中,系统的状态方程通常对历史有依赖性.在第一章第三节,考虑由下面的泛函依赖的随机微分方程驱动的随机控制问题：消费函数为初始值为γt∈A,最优控制问题是关于控制u（·）∈U[t,T]（见定义1.21）对J取最小.定义值函数V：Λ→R为得到下面路径依赖的偏微分方程其中且证明了值函数是偏微分方程的粘性解.另外,给出了光滑情形的验证定理.动态规划原理和对应的HJB方程是解决最优控制问题的重要方法（见[88],[43],[110],[114]和[87]）.不同于延迟问题（见[23],[25],[64]和[65]）和泛函随机系统的动态规划原理（见[72]）,这里给出来了一种新的泛函伊藤公式和对应的HJB方程.自1983年来,Crandall和Lions [21]发展了粘性解.有限维的问题得到的很好的解决,详见[20].但在实际应用中,需要系统依赖历史,则相关的最优控制问题变成了无穷维.Mohammed [64]和[65]研究了泛函依赖的随机微分方程Chang et al.[23]研究了带记忆的随机最优控制问题.但在应用Ekeland变分原理时产生了问题.详见[57],[60].近来,在一定假设下,Peng [84]证明了全非线性路径依赖偏微分方程粘性解存在唯一性Ekren, Touzi,和Zhang（[36],[39],[40]）抽象的考虑全非线性偏微分方程,在粘性解的定义中采用复杂的super-和sub-集合,特别的他们的定义涉及到非线性期望.在Dupire’s泛函伊藤公式下,Tang和Zhang [109]研究了递归效用的最优控制问题.在第一章第四节：给出连续空间上的弱Frechet导数.对比Dupire导数的定义,尝试给出Frechet导数在一个较小的空间上扰动.沿着这个想法,选择了W1,2空间作为扰动空间,给出了一种新的弱Frechet导数.在第一章第五节：考虑弱Frechet导数下的随机最优控制问题.记连续空间为C.这种新的导数不需要考虑右连左极函数空间,其中Dupire’s导数需要考虑.在这种新的框架下,给出了半鞅的伊藤公式.然后考虑了带记忆的随机微分方程相关的随机控制问题.且把粘性解的定义限制到W1,2.在这种新的粘性解的定义下,验证了值函数是对应的HJB方程唯一的粘性解.金融数学中,需要计算违约概率.在线性概率假设下,应用正态分布描述股票收益率,可以很简单的计算违约概率.一般情况下,市场是不确定的.G-期望由Peng最近几年提出,在一定假设下等价于一族概率（见[30]）.在G-期望理论中,引入了G-正态分布和G-布朗运动和相关的伊藤计算（见[78],[80],[81]）.在马尔科夫情形,G-期望对应全非线性偏微分方程,可以应用到经济和金融等方面（见[90]）.在第二章第一节,考虑了G-热方程的数值性质.下面的方程用于计算非线性概率（[78]）：其中（?|）（x）=1｛x<0},x∈R.且u（t,x）：=E[（?）（x+（?）tX）],（t,x）∈[0,∞)×Rd,是上面方程的粘性解,其中E是次线性期望.沿着[90],[93],[100]的工作,证明了全隐格式收敛到G-热方程的粘性解.在相同的最大波动率下,通过下面的方程比较非线性概率u（1,0）和线性概率u（1,0）：和通过计算,有Pardoux和Peng [91]首次提出非线性倒向随机微分方程.独立的Duffie和Epstein[28]提出了随机递归效应联系的倒向随机微分方程.倒向随机微分方程是一种递归效应的形式（见[38]）.自此,经典的最优控制问题推广到了”随机递归效应问题”,消费函数通过倒向方程解定义Peng [87]得到了对应的HJB方程并证明了值函数是HJB方程的粘性解.在[88],Peng推广了以前的结果引入了后向半群,这样可以更加直接的呈现动态规划原理.Wu和Yu[110]采用后向半群的方法研究了反射倒向随机微分方程的随机控制问题Buckdah-n和Li在[6]中研究了相关的随机博弈问题.其中Buckdahn et al.[7]得到了随机递归效应问题存在性的结果.考虑到度量风险和金融中的不确定性问题,Peng [78]引入了次线性期望,推广了线性概率Peng研究了全非线性期望,称为G-期望E[·]（见[82]和相关的结果）和条件期望Et[.]在范数E[｜·｜p]1/p下的完备化.在G-期望框架下（简记G-框架）一种新的布朗运动记为G-布朗运动.给出了G-布朗运动相关的计算.通过经典的方法可以证明由G-布朗运动驱动的随机微分方程解的存在唯一性.但是通过G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程解的问题是一个挑战.近来G-期望理论和相关应用参看[76,77,83,106,73,32,33,94,102,1031.另外有其它一些框架研究非线性概率的问题Denis和Martini [31]给出了一种拟线性随机分析,但是得不到条件期望.这个问题进一步在Denis et al.[30]和Soner et al.[107]中研究.其中Soner et al.[108]得到了一类倒向随机微分方程解的深入的结果,称为2BSDE.不同的风险控制问题（博弈）见[72,75,98,67]和金融的应用见[69,74].在第二章第二节,考虑G-期望下的随机递归效应问题.近来Huet. al研究了G-驱动的倒向随机微分方程见[50]和[49]：在关于f（s,y,z）和g（s,y,z）在（y,z）标准假设下,得到了唯一解（Y,Z,K）.不增的G-鞅K是一个集成.倒向方程的一些重要的性质如比较定理和Girsanov变换见[49].这里考虑G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程对应的随机控制问题.即,由G-布朗运动驱动的随机微分方程如下目标泛函为Yt t,x,u：定义随机最优控制问题的值函数为：控制集是G-框架下的.主要结果是值函数V是确定的且是下面的方程的粘性解其中Zhang [115]考虑了类似的问题.正倒向方程[115]比较简单：正向方程是时齐次的,倒向方程不含Z和K.过去的二十年中,倒向随机微分方程广泛应用于金融,随机控制等其他领域.不同于连续时间的离散,Cohen和Elliott [13]考虑了有限时间有限状态上的倒向随机微分方程.非连续情形的逼近见[8,5,66],给出了一般的结果如比较定理详见[11,12,13,14,15,19].在第三章,考虑这种有限时间有限状态下的Girsanov变换.随机计算中,Doleans-Dade定义半鞅指数Y为下面的微分方程的解初始条件为Y0=1对应的解为Follmer给出下面Doleans-Dade在[42]随机指数的离散情形：如果户是等价于P的概率测度,则鞅可以写成其中Λ是一个P-鞅满足Λ0和△t+1-Λt>-1P-a.s.本节推广Follmer的结果,给定下面的线性倒向随机微分方程[13]：为了得到上面的方程的显式解,给出推广的Girsanov变换.考虑一步差分方程给定概率空间（Ω,FT,{Ft）0≤t≤T,P)其中a是适应过程.定义测度Q为可以证明Q和P是空间（Ω,FT）上的等价概率测度且Y是（Ω,FT,{Ft）0≤t≤T,Q)上的鞅.通过构造的Girsanov变换,给出了完备市场动态资产定价.
李师煜,高武军,刘且根[7]（2013）在《非Lipschitz条件下由一般鞅驱动的倒向随机微分方程解的存在性》文中进行了进一步梳理经典的倒向随机微分方程以布朗运动做为干扰源,布朗运动是一种理想化的随机模型,从而使倒向随机微分方程的应用受到了限制.文中研究了以连续局部鞅为干扰源的倒向随机微分方程,在生成元满足一种非Lipschitz条件下,通过构造一个函数列的方法,利用Lebesgue’s控制收敛定理和常微分方程的比较定理,证明了其解是存在的并且是唯一的,对经典的倒向随机微分方程进行了推广.
张娜[8]（2012）在《倒向随机微分方程下的算子表示及Jensen不等式》文中指出在对随机最优控制问题的研究过程中,Bismut于1973年首次提出了线性的倒向随机微分方程（简称BSDE）。然而直到1990年Pardoux-Peng[90]给出了一般形式的倒向随机微分方程,并证明了其解的存在唯一性,倒向随机微方程才在理论及应用方面取得了迅速发展。BSDE的一般形式如下：其中（?）表示终端随机变量,T>0是固定的终端时刻,（Wt）t∈[0,T]表示d-维布朗运动,g是该BSDE的生成元。求BSDE的解是对固定的（?）,T,g,求一对适应过程（Y.,Z.）使得上式成立。Pardoux-Peng[90]给出的假设是9关于y,z李普希兹连续,此后有很多研究致力于将该条件弱化,如改为局部李普希兹条件（Bahlali[1]等）,连续性条件（Lepeltier-San Martin [73],Matoussi[80]等）,一致连续性条件（Jia[53,56],Fan-Jiang[36],Hamadene[39]等）,关于z平方增长（Kobylanski[68], Briand-Hu[9,10],Tevzadze[117], Briand-Elie[7], Dclbaen-Hu-Richou[23],Richou[104]等）,关于z超平方增长（Delbaen-Hu-Bao[22], Richou[104]等）,关于y多项式增长（Briand-Carmona[4]等）,关于y超线性增长,关于z平方增长（Kobylanski-Lepeltier-Quenez-Torres[69]等）,不连续（Jia[52],N’zi-Owo[83], Halidias-Kloeden[38]等）以及一些其他的条件（Royer[107]等）。另外,也出现了多种形式的BSDE,比如,带反射的、正倒向耦合的、驱动为相互独立的布朗运动与泊松跳过程,或者更一般的1evy过程、甚至一般的鞅等等,相关文献如,Tang-Li[116],Situ[112,113], Yin-Situ[121],Ouknine[85],Essaky-Ouknine-Harraj[35],Ren-Otmani[103],Morlais[81], Lejay[72],Bahlali-Essaky[2],Hamadene-Ouknine[40],Hassani-Ouknine[41],Essaky[33]等。另一个分支是对BSDE解的性质的研究,比如比较定理、逆比较定理、凸性、平移不变性等等,如Pcng[97,100]引入的g-期望的概念及其性质,参考文献如Briand-Coquet-Hu-Memin-Peng[6],Coquet-Hu-Memin-Peng[19],Jiang[64,65,66],Hu-Tang[48],Hu-Peng[47],Royer[108],Jia-Peng[58],Jia[55]等。BSDE在很多重要领域得到了应用,如经济、控制、金融等领域,具体说来,如随机最优控制、博弈理论、数理金融等等。相关文献如Peng[96,98],Wu-Yu[120],Chen-Li-Zhou[16],Liu-Pcng[76],Kohlmanm-Zhou[70],chen-Epstein[14]等。BSDE的另一方面重要应用是,提供了若干类二阶偏微分方程的概率解释,也即非线性Feynman-Kac公式,具体可参见Peng[94],Peng[98],Pardoux-Peng[91],E1Karoui[30],Barles-Buckdahn-Pardoux[3],Buckdahn-Hu[12],Briand-Hu[8],El Karoui-Kapoudjian-Pardoux-Peng-Qucnez[31],Pardoux[87],Padoux-Tang[93],Kobylanski[68], El Karoui-Peng-Quenez[32],N’zi-Ouknine-Sulem[82]等。为叙述方便,我们将方程（1）记为（g,T,ξ）,其解记为（Ytg,T,ξ,Ztg,τξ）t∈[0,T]另外将Ytg,T,ξ记为Et,τg[ξ]。假设对任意（y,z）∈R×Rd,g（·,y,z）是平方可积的。Tr[·]表示对称矩阵的迹。Gi表示矩阵G的第i行。下面是本文的章节目录：一、第一章引言；二、第二章一致连续系数BSDE对二阶随机微分算子的不变表示及其在非线性半群上的应用；三、第三章平方增长g-凸函数,C-凸函数及其相关关系；四、第四章由带跳的BSDE的解来表示的随机积分-微分算子及f-凸函数的性质；五、第五章关于容度的几个性质的新证明。第二章证明了一类二阶随机微分算子可以表示为—（?）（?）FBSDE的解的极限,其中倒向方程的生成元只需一致连续；由非耦合的正倒向方程定义非线性半群,其无穷小生成元就是如上表示的二阶随机微分算子;证明了非线性半群的单调性与保序性；证明了耦合的FBSDE的一个比较性质。（本章内容主要来自两篇文章Jia-Zhang[60],Zhang-Jia[123]）在本章中,我们总假设SDE是n维的,BSDE是1维的。在g关于（y,z）一致连续且线性增长的条件下,Lepeltier-San Martin[73]证明了方程的解的存在性,然而解未必是唯一的,Jia-Peng[57]证明了此时解或者唯一或者有不可数多个,不唯一的例子,如g（y）=（?）|y|,T=1,ξ=0时,方程（（?）|y|,1,0）的解就有无穷多个。本章第一个结论说明,不论解是否唯一,我们总是可以拿来与SDE的解一起,共同表示一类二阶随机微分算子。首先引入下列关于SDE的假设。假设b：Ω×[0,T]×Rn→Rn,σ：Ω×[0,T]×Rn→Rn×d是满足下列条件的函数：（一致李普希兹条件）：|b（t,x1）-b（t,x2）|+|σ（t,x1）-σ（t,x2）|≤Kb|x1-x2|,（?）x1,x2∈Rn：（线性增长条件）：|6（t,x）|+|σ（t,x）|≤Kb（1+|x|）,（?）x∈Rn；其中Kb>0为一个常数。为简单起见,我们记此条件为正向的标准李普希兹条件,以区分9满足的标准李普希兹条件（即,g关于y,z一致李普希兹连续）。设（Xst,x）s∈[0,T]为下列SDE的强解其具体内容如下定理2.2.1（表示定理Ⅰ）令g满足一致连续性条件,且关于t连续,6,σ满足以上假设且关于t连续。若φ∈C1,2（[0,T]×Rn）且φ本身及其各阶导数关于x至多多项式增长,那么对每个x∈Rn,t∈[0,T),如下式子成立其中注意到此结论中解的选取是任意的。由此可以得到g在此条件下的一个逆比较定理以及一些BSDE的解的性质与生成元的性质之间的等价对应关系,比如,线性性、保常性。接下来我们根据正倒向方程定义了两种非线性半群,这两种非线性半群是对由马尔科夫扩散过程生成的马氏半群的一种推广,马氏半群是给扩散过程取线性期望得到的,而此处的半群是对扩散过程取非线性期望（g-期望）得到的。上面的表示定理Ⅰ恰好给出了这两种半群的无穷小生成元。在定义半群时,我们首先假定6,σ只依赖于x且关于x李普希兹连续,9只依赖于（y,z）,故终端时刻T可以取值为任意正数。记H为Rn→R中至多多项式增长的连续函数的全体,Hb为Rn→R中有界一致连续函数的全体。根据g满足条件的不同,分为如下两种定义方式：首先,当g关于（y,z）满足李普希兹条件时,通过εtf（x）：=y0g,t,f（Xt0,x）在H上定义族算子{εt；t≥0},并定义运算（εt（?）εs）f=εt（εsf）。则有εt（?）εs=εs（?）εt=εt+s。故{（εt）t≥0;（?）}构成一个交换半群。其次,当g关于（y,z）一致连续,b,σ有界时,类似于Ma-Zhang2011年的文章[77],可以如下定义“节点集”0（t,x,f,s）,（?）（t,x,f.s）：={y：存在一个解y.g,s,f（Xst,x）满足ytg,s,f（Xst,y},其中f∈Hb。Ma-Zhang还证明了（?）（t,x,f,s）是一个有界区间,分别以u（t,x,f,s）和u（t,x,f,s）记其上界和下界,则有定义εt,sf（x）：=u（t,x,f,s）和εt,sf（x）：=u（t,x,f,s）。由于此时我们假设的g,b,σ都独立于时间t,故εt,sf（x）≡ε0,s-tf（x）,可以简记εtf（x）=ε0,tf（x）。类似的,有εtf（x）=ε0,tf（x）=εr,t+τ f（x）,对任意r≥0,t≥0。对固定t,εtf（x）和εtf（x）都是有界的一致连续函数,即属于Hb.同李普希兹情形,我们可以在两种算子上分别定义运算“。”,可以推出{（εt）t≥0；（?）}和{（εt）t≥0；（?）}都构成非线性半群。由此可以看出,当9只是一致连续时,无穷小生成元与半群并不能完全一一对应,此时,可能有多个半群对应于同一个无穷小生成元。有了以上的半群,我们下一问题着重讨论了当g满足李普希兹条件时半群的单调性质和比较性质。实际上,Herbst-Pitt[43]和Chen-Wang[17]证明了马氏半群单调的充要条件,以及两个马氏半群可以比较的充要条件。但是,他们的证明强烈依赖于马氏半群的线性性,所用的方法不能直接拿来用,所以为了得到这些结果,我们需要另辟蹊径。首先引入下面定义。定义2.5.1令“≤”表示Rn中通常的半序。（i）.我们称一个定义在肿中取值于R的可测函数f是单调的,如果f（x）≤.f（x）对所有x≤x.我们以M来表示至多多项式增长的连续单调函数的集合。显然M（?）H。（ii）.对两个半群{εt}t≥0和{εt}t≥0,我们称εt≥εt,如果对所有f∈M,以及所有x≥x和t≥0,有εtf（x）≥εtf（x）.另外,如果εt=εt,我们称εt单调。我们证明了下面的两个定理成立。定理2.5.1假定6,σ只依赖于x且关于x李普希兹连续,9只依赖于（y,z）,且关于（y,z）李普希兹连续。则定义在H上的εt是单调的,当且仅当：（2C1-i）.对任意的i=1,...,n,若是x,x∈Rn,xi=xi,且对任意k≠i,xk≥xk,有bi（x）-bi（x）≥0成立；（2C1-ii）.对所有i=1,...,n,σ的第i行只依赖于xi。由此定理,我们发现εt的单调性与g无关。定理2.5.3假定n=d,假定6,σ,b,厅只依赖于x且关于x李普希兹连续,g,g只依赖于（y,z）,且关于（y,z）李普希兹连续。σσ*（或者σσ*）是一致正定的,且b,b,σ,厅都有界。如果εt或者εt是单调的,那么εt≥εt当且仅当（2C3-i）σσ*≡σσ*并且σ和σ的第i行均只依赖于xi；（2C3-ii）对所有x∈Rn,y∈R,K∈Rn且K≥0,注意到第二个定理首次将SDE的漂移项系数与BSDE的生成元结合起来作为一个整体进行比较。由于半群对应唯一确定的PDE,如上的单调性定理以及保序性定理实际上可以转化成二阶拟线性抛物方程的单调性与保序性。在证明的过程中,我们还可以看到,在李普希兹条件下,半群对应唯一确定的PDE,但是未必对应唯一确定的正倒向方程。特别的,取g,g：Rd→R,kj,pj,kj,pj∈R,（?）j=1,...,d。我们有以下结果。定理2.5.4设b,σ,b,厅只依赖于x且关于x李普希兹连续,且条件（2C1-i）和（2C1-ii）对b,σ和b,厅成立,（σ）n×d的同一列中的元素符号相同,其符号可随x的不同而不同,σ的符号也具有这种性质。。那么εt≥εt当且仅当（2C3-i）和（2C3-ii）成立。此处（2C3-ii）意味着对任意i,只要x≥x,xi=xi,这个结果不能被定理2.5.3所涵盖,因为此时我们并不假定n=d,以及σσ*一致正定。根据这个定理,我们可以将一类特殊的二阶拟线性抛物PDE部分的转化成二阶线性PDE。注2.5.8考虑以下二阶拟线性PDE：其系数的条件同定理2.5.4,则我们有如下结论：如果f是至多多项式增长的非降连续函数,那么上述PDE等价于如果f是至多多项式增长的非增连续函数,以上PDE等价于本章最后一个结果,受到半群保序性定理证明方法的启发,得到一类新的FBSDE的比较定理。该定理同样将SDE的漂移项系数和BSDE的生成元结合起来,据我们所知,在FBSDE的比较定理中,这是首例。首先我们所考虑FBSDE如下此处（Xt,Yt,Zt,Wt）∈Rn×R×Rd×Rd,b,σ,g和f都具有相应的维数。以下是关于此定理的假设（主要来自[77]）：系数（b,σ,g,f）可测且有界；σσ*一致正定；b,σ,g,f光滑且一二阶导数有界。定理2.6.1假定bi,σi,gi,jfi（i=1,2）满足如上条件。设这两对FBSDE的初值分别为x1,x2,记其解为（Xi,yi,Zi）。如果（i）σ1（σ1）‘三σ2（σ2）*,（ii）对任意t∈[0,T],x∈Rn：y∈R,p∈Rn,（iii）f1≥f2,（iv）x1=x2,那么Y01≥Y02。第三章证明了平方增长的倒向随机微分方程的表示定理；得到了一个函数满足平方增长g-期望下的Jensen不等式的充要条件；基于常数C定义了一类C-仿射函数,并以此定义了C-凸和C-凹；证明了C-凸（凹）函数的类似于普通凸（凹）函数的性质；研究了这类C-凸（凹,仿射）函数与平方增长g-凸（凹,仿射）函数之间的相互关系。（本章主要内容来自Jia-Zhang[63]）经典的数学期望下的Jensen不等式是现代概率论中的一个基本的不等式。在g满足标准李普希兹条件时,Jia-Peng [58]于2010年,首次将满足g-期望下的Jensen不等式的函数定义为“凸函数”,提出了g-凸的概念,即：一个函数h称为g-凸（凹）函数,如果对任意FT可测平方可积且使h（X）平方可积的随机变量X,以及任意t∈[0,T],Et,Tg[h（x）]≥（相应地,≤）h（Et,Tg[X]）.如果h既是g-凸函数又是g-凹函数,则称为g-仿射函数。Jia-Peng还给出了一个光滑函数h是g-凸函数的一个简单的充要条件,即,Lgt,y,zh≥0,其中而一般的多项式增长的连续函数h是9-凸函数的充要条件是,h是下列方程的粘性下解：关于粘性解的概念,读者可参考[20]等。关于这种g-凸函数的性质,一个很重要的结果是在.g满足标准李普希兹条件时,g-凸函数一定是通常意义下的凸函数。本章的主要内容是考虑平方增长条件下g-凸函数的性质。自Kobylanski在2000年的文章[68]中引入平方增长BSDE以来,平方增长的BSDE已经得到了比较好的研究。然而,就我们所知,除了Ma-Yao[78]给出了一个条件比较强的关于生成元的表示定理以及一个简单的Jensen不等式的结论外,再没有其它人涉猎平方增长条件下的表示定理以及Jensen不等式。本章将对这些问题进行深入探讨。本章的核心结果是,证明9-凸函数应该满足的充要条件。在此证明中遇到了困难,主要原因是终端条件有界的要求与证明过程中引入的正向方程的解通常无界之间的矛盾。为解决此问题,我们引入停时以及可选停时定理等,停时的灵活运用成为这个证明过程的关键,也贯穿了整个证明过程的始终。最让我们感兴趣的是,此时的g-凸函数已经不再是通常意义下的凸函数了。为此,根据一个比较简单的依赖于常数C的ODE,我们将其解（通常不是直线）定义为新的“仿射函数”,称为C-仿射函数,并用类似于普通凸的方法定义了C-凸函数。这个函数体系有非常好的基本类似于通常凸的性质。比如C-凸函数具有连续性,拟凸性,以及可以表示为一族C-仿射函数的上包络等。值得一提的是,若是C=0,此时的0-凸框架恰好对应于通常的凸的框架。这类C-凸函数对于平方增长g-凸的意义,一如凸函数对于李普希兹条件下g-凸的意义。本章中我们对9作如下假设：存在两个常数Ky>0和Kz>0使得,A（t,y,z,y’,z,）,g（·,0,0）一致有界。为简单起见,称此假设为标准平方增长条件。首先,如前,我们证明了g满足标准平方增长条件时,带有停时的表示定理成立。定理3.3.1令9满足标准平方增长条件,b,σ满足正向的标准李普希兹条件。另外假设g,b,σ都关于t连续。设φ∈C1,2（R+×Rn）,那么对每个（tnx）∈[0,T）×Rn,下面的极限成立其中Lg,b,σt,x的定义如前所述,ε要求充分小,Τε=ΤΛ（t+ε）,Τ是一个使得X.t,x在[t,τ]上有界的停时。例如,（K0是一个正数且充分大）。接下来关于g-凸的研究,我们总假设g（t,y,0）≡0,且g满足标准平方增长条件。首先,有如下9-凸函数的定义。定义3.4.1一个函数h：R→R被称为终端有界条件下的g-凸（相应地,g-凹）函数,如果对每个X∈L∞（FT）,有,对任意t∈[0,T],h（Etg,T[X]）≤Et,Tg[h（X）].（相应地,h（Et,Tg[X]）≥Et,Tg[h（X）]）P-a.s.h被称为g-仿射如果它既是g-凸又是g-凹。注意到终端的有界性,我们可以定义凸集上的g-凸函数,这对后面我们研究这一类g-凸函数提供了很大的方便。定义3.4.3（凸集上的g-凸性）假定（?）是R上的一个凸集。对一个固定Eg[·],实值函数h被称为0上的g-凸（相应地,g-凹）函数,如果对每个X∈L∞（FT）使得Es,Tg[X]（ω）∈（?）,dPdt-a.s.我们有（相应地,h（Et,Tg[X]）≥Et,Tg[h（X）]）P-α.s,t∈[0,T].h被称为（?）上的g-仿射函数如果它既是（?）上的g-凸函数又是（?）上的g-凹函数。下面两个定理是本章的主要结果。定理3.4.1令h∈C2（R）,那么以下两个叙述等价：（ⅰ）h是终端有界条件下的9-凸函数（相应地,g-凹函数）；（ⅱ）对每个y∈R,z∈Rd,Lgt,y,zh≥0（相应地,≤0）dPdt-a.s.定理3.4.2假定g独立于ω且关于t连续。h是一个连续函数。以下论断等价：（ⅰ）对每个（t,z）∈[0,T]×Rd,h是Lgt,y,zh=0的粘性下解；（ⅱ）h是终端有界条件下的g-凸函数。下面取一类g进行仔细研究：g=C|z|2+g1（t,y,z）,其中如果C三0,任意9-凸函数是通常意义下的凸函数,g-仿射函数恰好是所有的线性函数。我们设C≠0,取φ∈C2（R）是一个g-仿射函数,则有解以上ODE,以Ⅱc来表示所有解的集合：,或φ（x）=x+b,或φ（x）=b,Aa,b∈R}.我们定义这类函数为C-仿射函数,通过这类函数,类似于普通凸函数的定义,得到了如下C-凸函数：定义3.6.1（C-凸函数）定义在凸集D上的函数f称为C-凸函数,如果对任意φ∈Πc与f相交于两点x1,x2（不妨设x1<x2）,f（x）≤φ（x）,Ax∈（x1,x2）.如上定义的C-凸函数有很多很好的性质,比如拟凸性,连续性,几乎处处可导,且在各个点的左右导数都存在,左导数不大于右导数等等。此外,我们还定义了C-凸集。定义3.6.7（R2中的C-凸集）一个集合A（?）R2被称为一个C-凸集,如果对任意两个点（x1,y1）,（x2,y2）∈A,x1<x2,如果φ∈Ⅱc穿过这两点,那么φ（x）∈A对任意x∈（x1,x2）成立。关于f的上水平集epif={（x,y）：f（x）<y},有如下结果。命题3.6.9如果f是一个C-凸函数,epif是一个C-凸集。另一方面,如果epif是一个C-凸集,那么f是一个C-凸函数。C-凸函数还有如下重要性质。定理3.6.2以及定理3.6.4任意C-凸函数可以表示为一族C-仿射函数的上包络,反之,任意一族C-仿射函数的上包络都是C-凸函数。接着,我们讨论了C-凸函数与g-凸函数之间的关系。首先,特定的一族函数g,C-凸函数与与g-凸函数一一对应,具体如下。定理3.6.5任意C-凸函数是一个9-凸函数,其中g=C|z|2+G1z,（?）C1∈Rd。反之,设g=C|z|2+<C1,z>,（?）C1∈Rd,那么任意定义在D上的9-凸函数是定义在D一个C-凸函数。另外,对更一般的g,如下结果成立。定理3.6.6假定g=C|z|2+g1（t,y,z）,其中C∈R,于是任意9-凸（相应地,凹,仿射）函数是C-凸（相应地,凹,仿射）函数。最后的两个定理,是关于9-凸函数与9-凸函数或g-仿射函数之间的关系。定理3.6.7假定Ⅰ是一个指标集,{fi：i∈Ⅰ}是g-凸函数的一个集合。那么f（x）=sup{fi（x）：i∈Ⅰ}也是一个g-凸函数。定理3.6.8假定其中C∈R,则光滑的g-凸函数h可表示为一族g-仿射函数的上包络的必要条件是,对任意（t,y,z）成立。特别地,若C=0,且g独立于y,则上述条件是充要条件。第四章由一列带跳的正倒向随机微分方程的解来表示二阶随机积分-微分算子；得到了带跳的BSDE的逆比较定理,以及解与生成元的一系列等价性质；证明了由带跳的BSDE构成的f-期望的Jensen不等式。（本章主要内容来自Jia-Zhang[61,62]）本章中,我们将研究带跳的BSDE的表示定理和Jensen不等式。假定信息流（Ft）t∈[0,T]是由相互独立的d-维标准布朗运动（Wt）t∈[0,T]和定义在（R+×B）上的泊松随机测度μ。首先,本章内假设b,σ满足正向的标准李普希兹条件,f（ω,t,x,y,z,U）关于（y,z：U）致李普希兹连续,关于x至多多项式增长。对给定的（t,x）∈[0,T]×Rn,以X.t,x来表示以下SDE的解：并引入如下二阶随机积分-微分算子：关于积分的含义,将在第四章正文中阐述。本章中我们将给出上述算子由带跳的正倒向方程的解的表示,以下是两个主要结果。定理4.2.1（表示定理Ⅰ）假设f,b,σ关于t右连续。假设φ关于x有有界的三阶导数,记其公共界为Kφ。令1≤p≤2。则对每个（t,x,U（·））∈[0,T)×Rn×L2（B,B*,λ；Rn）,以下式子成立另一个结论用到停时,也放宽了对φ的要求。定理4.2.2（表示定理Ⅱ）假定生成元f,b,σ满足定理4.2.1中的条件。令φ∈C2。则对每个1≤p≤2,和我们有其中τε：=τ（?）（t+ε）,τ是一个停时,使得Xt,x在[t,τ]上有界,比如τ：=inf{s>t|Xst,x-x|>N},ε充分小。上面定理中的L2（B,B*,λ；Rn）和L∞2（B,B*,λ；Rn）的意义在第四章有详细介绍。由表示定理,我们得到了关于带跳的BSDE的逆比较定理。定理4.3.1（逆比较定理Ⅰ）令f1,f2独立于x,另外,设（?）（y,z,U）,f1和f2都关于t∈[0,T)右连续,在Τ点连续,P-a.s.。对任意s∈[0,T],ξ∈L2（Fs）,有则对任意（t,y,z,U（·））∈[0,T]×R×Rd×L2（B,B*,λ；R）,有定理4.3.2（逆比较定理Ⅱ）令.f1和f2除满足逆比较定理Ⅰ中所述条件外,还满足f（t,y,0,0）三0.若对任意ξ∈L2（FT）,则有假定.f独立于x,且对任意（t,y）∈[0,T]×R,f（t,y,0,0）≡0。类似于g-期望,Royer[108]由带跳的BSDE定义一类非线性期望f-期望。下面给出了f-凸函数的概念。定义4.4.2对一个给定的f-期望Ef[·],一个函数h：R→R被称为f-凸（相应地,f-凹）函数,如果对每个X∈L2（FT）,使得h（X）∈L2（FT）,我们有(相应地,h被称为f-仿射函数如果它既是f-凸函数又是f-凹函数。下面记定理4.4.1令f（t,y：z,U）关于（y,z,U）一致李普希兹连续且满足比较定理成立的条件,并关于t连续,对任意t,y,f（t,y,0,0）三0且h∈C2（R）。则以下两种叙述等价：（i）.h是f-凸的（相应地,f-凹）；（ii）.对每个t∈[0,T],y∈R,z∈Rd,U（·）∈L∞2（B,B*,λ；R）,（相应地,≤0）.定理4.4.4令h∈C（R）至多多项式增长,.f（y,z,U）所需满足的条件比定理4.4.1稍强（具体见原定理）,则以下两种叙述等价：（i）.h是f-凸的（相应地,f-凹）；（ii）.对每个z∈Rd,U（·）∈￡乙（B,B*,λ；R）,h是Lft,y,z,Uφ=0的粘性下解。第五章用一种新的方法证明了几个关于2-alternating容度的性质（本章内容来自Jia-Zhang[59]）设Ω是一个基本集合,召是Ω上的σ-代数。我们称一个集函数c：B→[0,1]是一个容度如果它满足：（C1）.c（Ω）=1,c（Φ）=0；（C2）（单调性）.对任意A（?）B,A,B∈B,c（A）≤c（B）。称容度μ为2-alternating,如果对任意A,B∈召,μ（A（?）B）+μ（A∩B）≤μ（A）+μ（B）。称容度v为2-monotone,如果对任意4,B∈B,μ（A∪B）+μ（A∩B）≥μ（A）+μ（B）。称一个容度μ为概率测度,如果μ（A∪B）+μ（A∩B）=μ（A）+μ（B）,我们以P来表示个概率测度。根据Dcnnicbcrg [26]和Jia[54],简单推测可知如下结果成立。定理5.2.1任意概率测度是2-alternating容度集合的极小元。反之,任意2-alternating容度集合的极小元都是概率测度。定理5.2.2考虑空间（Ω,B）。B是Ω上的一个代数,且是一个有限集。c是定义在B上的一个2-alternating容度。取F1,...,Fn∈B使得F1（?）F2（?）...（?）Fn。则存在一个概率测度P,对任意i=1,...,n,P（Fi）=c（Fi）且P≤c。定理5.2.3考虑空间（Ω,B）。召是Ω上的一个代数,且是一个有限集。μ是定义在B上的一个2-alternating容度,v是定义在B上的一个2-monotone容度。则μ≥v意味着存在一个概率测度P,使得μ≥P≥v。Denneberg和Jia对上述相近问题从期望的角度上进行了证明,应用的分别是Choquet-期望和一般的次线性期望。本章中我们将完全从容度的角度上来证明上述结果。证明过程的关键是通过B上的集合A对一个2-alternating容度c进行如下变换文中证明了cA仍然是一个2-alternating容度,且cA≤c。这种变换还具有很多其他的很好的性质。特别的,对后两个定理的证明过程中,我们设计了一个循环程序,最终,通过构造的方法得出一个符合条件的概率测度。
仇金鸟[9]（2012）在《倒向随机微分发展系统及其应用》文中提出本文主要讨论倒向随机微分发展系统及其应用.第一章考察一般的倒向重随机微分发展系统,建立关于Banach空间取值的倒向随机微分发展系统的Ito公式,利用基于单调算子理论的弱收敛方法证明解的存在唯一性.作为应用,给出拟线性倒向重随机偏微分方程弱解的存在唯一性定理,为后面的第四章做准备.第二章建立耦合的有限维正倒向随机微分系统与粘性不可压缩Navier-Stokes方程之间的联系,推广Feynman-Kac公式,为Navier-Stokes方程的解给出概率表示.而且,利用概率分析的方法证明这类正倒向随机微分系统局部解的存在唯一性；对于两维情形和小雷诺数情形,还进一步证明全局解的存在唯一性.第三章给出全空间上半线性超抛物型倒向随机偏微分方程的Lp理论及其比较定理.第四章中首先证明带有Sobolev空间系数的有界区域上拟线性倒向随机偏微分方程Dirichlet问题弱解的存在唯一性,然后使用De Giorgi迭代的技术证明其弱解满足最大值原理和局部最大模估计.最后,第五章考察2维倒向随机Navier-Stokes方程,在空间周期性边界约束条件下证明其强解的存在唯一性.
秦永立[10]（2012）在《平均场正倒向随机微分方程及相关问题的研究》文中指出Bismut[4]1973首次引入线性倒向随机微分方程,非线性倒向随机微分方程的解的存在唯一性首先由Pardoux和Peng[56]在1990年证明。之后,倒向方程理论及相关应用开始了飞速发展,尤其是在金融数学和随机控制领域。2009年Buckdahn、Li和Peng[10]及Buckdahn、Djehiche Li和Peng [8]引入了平均场倒向随机微分方程,并研究了相关的随机控制问题。近年来,对平均场随机系统的研究引起了很多人的关注,并已经有了很多的结果。这篇文章旨在研究平均场正倒向随机微分方程及相关的随机控制问题,研究超前倒向线性二次最优控制问题,推广了相关的结果。文章结构如下：第一章引言。我们将简要介绍经典的倒向随机微分方程理论和随机最优控制问题,其中的核心思想也是本文中将反复使用的。第二章预备知识。我们将给出经典倒向随机微分方程的一些结果。第三章平均场正倒向随机微分系统。讨论一种新型的随机微分方程,我们称之为完全耦合的平均场正倒向随机微分方程（简记为MFFBSDE）,它的生成元依赖于解和解的期望。我们将证明在一定的“单调性条件”下,这样的MFFBSDE存在唯一适应解。接下来我们给出了解关于参数的连续依赖性,最后,我们研究了完全耦合平均场正倒向随机微分方程的随机最优控制问题。推导出了随机最大值原理,并作为应用进一步研究了相应的平均场线性二次最优控制问题。第四章一类推广的正倒向随机微分方程和超前倒向线性二次最优控制问题。我们首先证明了在一类“单调性”条件下推广了的正倒向随机微分方程（即正向方程部分带有随机延迟,倒向力程部分带有随机超前的耦合正倒向随机微分方程）解的存在唯一性。随后,利用这类推广的正倒向随机微分方程的解研究了超前倒向线性二次随机最优控制问题。第五章平均场延迟随机微分方程及相关的控制问题。我们分别把经典的正向延迟随机微分方程和超前倒向随机微分方程的相关结论推广到了平均场情形,然后研究了平均场情况下的带延迟随机控制系统的最大值原理,最后作为对前面最大值原理应用我们研究了平均场延迟线性二次最优控制问题,最后给出了一个可以倒向迭代解出的例子。最后,在第六章研究展望中我们给出了未来有可能进行下去的研究方向及意义。
二、由一般鞅驱动的正倒向随机微分方程的比较定理（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、由一般鞅驱动的正倒向随机微分方程的比较定理（论文提纲范文）
（1）基于非合作动态博弈的随机切换系统能观性及优化控制（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 引言 |
| 1.1 课题研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究成果及研究现状 |
| 1.3 研究内容及文章结构安排 |
| 1.4 本章小结 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 基本概念及所用符号说明 |
| 2.1.1 本文所用符号说明 |
| 2.1.2 Riccati方程 |
| 2.1.3 伊藤公式 |
| 2.1.4 Lyapunov方程 |
| 2.2 博弈论 |
| 2.2.1 非合作动态博弈 |
| 2.2.2 纳什均衡及其多重性问题 |
| 2.2.3 微分博弈 |
| 2.3 随机切换系统 |
| 2.3.1 正倒向随机微分方程 |
| 2.3.2 随机系统能控性 |
| 2.3.3 随机系统能观性 |
| 2.4 系统优化相关理论 |
| 2.5 本章小结 |
| 3 随机切换微分博弈系统能观性与应用 |
| 3.1 系统建模及模型转化 |
| 3.1.1 系统模型 |
| 3.1.2 系统模型转化 |
| 3.2 精确能观测性判据 |
| 3.2.1 算子定义及对偶系统构造 |
| 3.2.2 精确能观性判据 |
| 3.3 随机系统能观性应用 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 随机切换微分博弈系统最优控制 |
| 4.1 最优控制问题 |
| 4.1.1 最优控制问题一 |
| 4.1.2 最优控制问题二 |
| 4.2 能控性,能观性与最优控制等价条件 |
| 4.3 本章小结 |
| 5 应用案例与仿真分析 |
| 5.1 随机微分博弈金融学案例 |
| 5.2 随机系统仿真 |
| 5.3 本章小结 |
| 6 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历及攻读硕士学位期间取得的研究成果 |
| 学位论文数据集 |
（2）正倒向随机差分方程理论及其相关的优化问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 连续时间正倒向随机微分方程理论的发展 |
| 1.1.2 离散时间正倒向随机差分方程理论的发展 |
| 1.2 研究动机 |
| 1.3 研究内容和结构安排 |
| 第二章 离散时间BS△E的基本理论 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 有限状态概率空间结构特点 |
| 2.3 有限状态概率空间下BS△E的可解性 |
| 2.4 一般状态概率空间下BS△E的可解性 |
| 第三章 线性FBS△E解的理论 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 有限状态概率空间下的线性FBS△E |
| 3.2.1 问题描述 |
| 3.2.2 隐式依赖的线性FBS△E的可解性理论 |
| 3.2.3 显式依赖的线性FBS△E的可解性理论 |
| 3.3 一般状态概率空间下的线性FBS△E |
| 3.3.1 问题描述 |
| 3.3.2 隐式依赖的线性FBS△E的可解性理论 |
| 3.3.3 显式依赖的线性FBS△E的可解性理论 |
| 第四章 非线性FBS△E解的理论 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 有限状态概率空间下的非线性FBS△E |
| 4.2.1 显式依赖的情形 |
| 4.2.2 隐式依赖的情形 |
| 4.3 一般状态概率空间下的非线性FBS△E |
| 4.3.1 显式依赖的情形 |
| 4.3.2 隐式依赖的情形 |
| 第五章 FBS△E相关的最优控制问题 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 有限状态概率空间下的FBS△E最优控制问题 |
| 5.2.1 部分耦合的情形 |
| 5.2.2 完全耦合的情形 |
| 5.3 一般状态概率空间下的FBS△E最优控制问题 |
| 5.3.1 部分耦合的情形 |
| 5.3.2 完全耦合的情形 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（3）Markov机制转移环境下投资保险问题的随机微分博弈研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和研究意义 |
| 1.1.1 研究背景 |
| 1.1.2 研究意义 |
| 1.2 文献回顾与评述 |
| 1.2.1 博弈理论概况 |
| 1.2.2 微分博弈早期发展 |
| 1.2.3 完全信息随机微分博弈 |
| 1.2.4 不完全信息随机微分博弈 |
| 1.2.5 文献述评 |
| 1.3 研究设计 |
| 1.3.1 研究目标和内容 |
| 1.3.2 研究方法与技术路线 |
| 1.3.3 结构安排 |
| 1.4 本章小节 |
| 第二章 理论基础 |
| 2.1 微分博弈概述 |
| 2.1.1 微分博弈的定义 |
| 2.1.2 均衡解的概念 |
| 2.1.3 主要技术方法 |
| 2.2 动态随机系统 |
| 2.2.1 Markov系统 |
| 2.2.2 奇异系统 |
| 2.3 不完全信息动态系统概述 |
| 2.3.1 不完全信息动态博弈 |
| 2.3.2 Kalman-Bucy滤波 |
| 2.4 本章小节 |
| 第三章 ITO型随机系统的非合作微分博弈 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 完全信息模式的随机微分博弈 |
| 3.2.1 Nash随机微分博弈 |
| 3.2.2 零和随机微分博弈 |
| 3.3 不完全信息模式的随机微分博弈 |
| 3.3.1 预备知识 |
| 3.3.2 基于Kalman-Bucy滤波的分析 |
| 3.3.3 Nash随机微分博弈 |
| 3.3.4 零和随机微分博弈 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 带跳扩散的线性二次随机微分博弈 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 完全信息跳扩散系统的微分博弈 |
| 4.2.1 预备知识 |
| 4.2.2 主要结果 |
| 4.2.3 Nash博弈的特殊情形 |
| 4.3 不完全信息下带跳扩散系统的随机微分博弈 |
| 4.3.1 预备知识 |
| 4.3.2 主要结果 |
| 4.4 微分博弈在鲁棒控制中的应用 |
| 4.4.1 随机H_2/H_∞控制 |
| 4.4.2 随机H_∞控制 |
| 4.5 在投资组合中的应用 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 线性MARKOV切换系统的随机微分博弈 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 线性MARKOV切换系统的两人随机微分博弈 |
| 5.2.1 预备知识 |
| 5.2.2 主要结果 |
| 5.3 奇异MARKOV切换系统的N人随机微分博弈 |
| 5.3.1 预备知识 |
| 5.3.2 有限时间随机微分博弈 |
| 5.3.3 无限时间随机微分博弈 |
| 5.4 微分博弈在随机H_2/H_∞控制的应用 |
| 5.5 本章小节 |
| 第六章 金融保险市场中的随机微分博弈模型 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 MARKOV机制转移模型的随机微分投资组合博弈分析 |
| 6.2.1 预备知识 |
| 6.2.2 主要结果 |
| 6.2.3 数值仿真 |
| 6.3 基于CEV模型的保险公司投资再保险博弈分析 |
| 6.3.1 预备知识 |
| 6.3.2 主要结果 |
| 6.3.3 数值仿真 |
| 6.4 本章小节 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士期间主要成果 |
| 致谢 |
（4）两类倒向随机微分方程解的研究及应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 引言 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 预备知识 |
| 1.3 本文结构及作者工作 |
| 第二章 倒向随机微分方程 |
| 2.1 解的存在唯一性 |
| 2.2 解的稳定性 |
| 2.3 解的比较定理 |
| 第三章 倒向双重随机微分方程 |
| 3.1 解的存在唯一性 |
| 3.2 解的比较定理 |
| 第四章 倒向随机微分方程在保险定价中的应用 |
| 4.1 保险原理概要及经典定价模型 |
| 4.2 BSDE在保险定价中的应用的理论依据 |
| 4.3 倒向随机微分方程在原保险定价中的应用 |
| 4.3.1 建立原保险定价的数学模型 |
| 4.3.2 原保险定价公式的推导 |
| 4.4 倒向随机微分方程在再保险定价中的应用 |
| 4.4.1 建立再保险定价的数学模型 |
| 4.4.2 再保险定价公式的推导 |
| 4.5 算例分析 |
| 结语 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 攻读硕士学位期间发表的论文 |
（5）一般鞅驱动的倒向随机Volterra积分方程（论文提纲范文）
| 0 引言 |
| 1 预备知识 |
| 2 一般鞅驱动的B SVIEs |
| 3 一般鞅驱动的线性B SVIEs的对偶原理与比较定理 |
| 3.1 线性BSVIEs的对偶原理 |
| 3.2 线性BSVIEs的比较原理 |
（6）泛函正倒向随机微分方程理论和G-期望下的最优化（论文提纲范文）
| 目录 |
| CONTENTS |
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号说明 |
| 第一章 泛函正倒向随机微分方程和最优控制问题 |
| 1.1 完全耦合的泛函正倒向随机微分方程 |
| 1.1.1 符号简介 |
| 1.1.2 完全耦合的泛函正倒向随机微分方程的解 |
| 1.2 非马尔科夫完全耦合的正倒向随机微分方程和路径依赖的偏微分方程的经典解 |
| 1.2.1 预备知识 |
| 1.2.2 正则性 |
| 1.2.3 相关的路径依赖的正倒向随机微分方程 |
| 1.3 路径依赖的HJB方程和相关的泛函随机微分方程控制问题 |
| 1.3.1 符号简介 |
| 1.3.2 动态规划原理 |
| 1.3.3 路径依赖HJB方程 |
| 1.4 弱Frechet导数和泛函伊藤公式 |
| 1.4.1 变化区间连续函数空间的弱Frechet导数 |
| 1.4.2 变化区间连续函数空间的弱Frechet导数下的伊藤公式 |
| 1.4.3 Dupire导数和弱Frechet导数的关系 |
| 1.5 全非线性二阶偏微分方程的粘性解和最优控制问题：带记忆的随机泛函微分方程 |
| 1.5.1 固定区间连续函数空间的弱Frechet导数 |
| 1.5.2 固定区间连续函数空间的弱Frechet导数下的伊藤公式 |
| 1.5.3 随机最优控制问题 |
| 1.5.4 动态规划原理和路径依赖的HJB方程 |
| 1.5.5 粘性解的存在唯一性 |
| 第二章 G-热方程的数值计算和G-期望下的随机递归最优控制问题 |
| 2.1 G-热方程的数值计算和在金融中的应用 |
| 2.1.1 预备知识 |
| 2.1.2 G-热方程的粘性解 |
| 2.1.3 数值算例 |
| 2.1.4 数值分析 |
| 2.1.5 G-期望在金融中的应用 |
| 2.2 G-期望下递归效用最优控制问题 |
| 2.2.1 预备知识 |
| 2.2.2 动态规划原理 |
| 2.2.3 HJB方程的粘性解 |
| 第三章 有限时间有限状态随机过程的Girsanov变换以及在资产组合定价中的应用 |
| 3.1 有限时间有限状态下随机过程的Girsanov变换 |
| 3.1.1 预备知识 |
| 3.1.2 推广的Girsanov变换 |
| 3.2 离散框架下资产组合定价 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 博士期间的学术论文 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（7）非Lipschitz条件下由一般鞅驱动的倒向随机微分方程解的存在性（论文提纲范文）
| 0 引言 |
| 1 主要结果 |
| 2 引理 |
| 3 定理1的证明 |
| 4 结语 |
（8）倒向随机微分方程下的算子表示及Jensen不等式（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 倒向随机微分方程 |
| 1.2 论文基于的基本框架以及相关问题 |
| 1.3 与本论文密切相关的BSDE已有的主要研究成果 |
| 1.3.1 生成元的表示定理和9-期望 |
| 1.3.2 SDE的性质以及拟线性抛物PDE的概率解释 |
| 1.3.3 g-凸理论 |
| 第二章 一致连续系数BSDE对二阶随机微分算子的不变表示及其在非线性半群上的应用 |
| 2.1 引言和背景知识 |
| 2.2 不变表示定理 |
| 2.3 逆比较定理及其应用 |
| 2.4 半群的构造 |
| 2.4.1 李普希兹连续情形 |
| 2.4.2 一致连续情形 |
| 2.5 随机单调和保序性 |
| 2.6 关于FBSDE的一个新的比较定理 |
| 第三章 平方增长g-凸函数,C-凸函数及其相关关系 |
| 3.1 引言和背景知识 |
| 3.2 关于停时的一些结果 |
| 3.3 表示定理 |
| 3.4 终端条件有界的g-凸性 |
| 3.4.1 C~2函数的g-凸性 |
| 3.4.2 连续函数的g-凸性 |
| 3.5 关于g-凸的一些性质 |
| 3.6 C-凸函数及其与g-凸函数的关系 |
| 第四章 由带跳BSDE的解来表示的随机积分-微分算子及f-凸函数的性质 |
| 4.1 背景知识 |
| 4.2 关于二阶随机积分-微分算子的表示 |
| 4.3 逆比较定理及其应用 |
| 4.4 f-期望下的Jensen不等式 |
| 4.4.1 C~2-函数的f-凸性 |
| 4.4.2 一般连续函数f-凸性 |
| 4.5 关于f-凸的一些性质 |
| 第五章 关于容度的几个性质的新证明 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 主要结果 |
| 参考文献 |
| 作者博士在读期间论文完成情况 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（9）倒向随机微分发展系统及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 常用记号和约定 |
| 绪论 |
| 第一章 倒向重随机微分发展系统 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 预备知识及主要结果 |
| 1.3 几个辅助结果 |
| 1.4 定理1.1的证明 |
| 1.4.1 有限维情形的证明 |
| 1.4.2 定理1.1的证明 |
| 1.5 实例 |
| 1.6 附录 |
| 第二章 正倒向随机微分系统与Navier-Stokes方程 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 正倒向随机微分系统与Navier-Stokes方程的联系 |
| 2.3.1 含有Sobolev系数的正倒向随机微分方程 |
| 2.3.2 正倒向随机微分系统(2.3)解的定义 |
| 2.3.3 FBSDSs和Navier-Stokes方程之间的联系 |
| 2.4 存在唯一性结果 |
| 2.4.1 几个辅助结果 |
| 2.4.2 定理2.1的证明 |
| 2.5 两个相关的问题 |
| 2.5.1 小雷诺数时的全局结果 |
| 2.5.2 2维情形 |
| 2.6 附录 |
| 2.6.1 引理2.6的证明 |
| 2.6.2 引理2.4的证明 |
| 第三章 全空间上超抛物型倒向随机偏微分方程的L~p理论 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 取值于Banach空间的BSDE |
| 3.4 一类随机Banach空间 |
| 3.5 BSPDE的L~p理论(p∈(1,2) |
| 3.5.1 条件陈述及BSPDE解的定义 |
| 3.5.2 空间齐次主项系数情形 |
| 3.5.3 一般的变系数情形 |
| 3.6 两个相关问题 |
| 3.6.1 比较定理 |
| 3.6.2 BSPDE的护理论如(p∈(2,∞)) |
| 3.7 小结 |
| 第四章 拟线性BSPDE的最大值原理 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 一些辅助结果 |
| 4.4 BSPDE(4.1)弱解的存在唯一性 |
| 4.5 最大值原理 |
| 4.5.1 全局情形 |
| 4.5.2 局部情形 |
| 第五章 2维倒向随机Navier-Stokes方程 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识和主要结果 |
| 5.3 有限维逼近和先验估计 |
| 5.4 求解有限维系统 |
| 5.5 定理5.1的证明 |
| 参考文献 |
| 攻读博士期间已完成和发表的文章 |
| 致谢 |
（10）平均场正倒向随机微分方程及相关问题的研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 倒向随机系统的引入 |
| 1.2 随机控制问题 |
| 1.3 正倒向随机微分方程概述 |
| 1.4 平均场随机微分系统理论发展概述 |
| 2 预备知识 |
| 3 平均场正倒向随机微分系统 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 MFFBSDE：解的存在唯一性 |
| 3.3 解关于参数的连续依赖性 |
| 3.4 MFFBSDEs的最大值原理 |
| 3.5 在平均场LQ问题的应用 |
| 4 一类推广的正倒向随机微分方程和超前倒向线性二次最优控制问题 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 一类推广的正倒向随机微分方程的解存在唯一性 |
| 4.3 超前倒向线性二次随机最优控制问题 |
| 5 平均场延迟随机微分方程及相关的控制问题 |
| 5.1 平均场延迟随机微分方程及超前倒向随机微分方程的解的存在唯一性 |
| 5.2 平均场带延迟随机控制系统的最大值原理 |
| 5.3 在平均场延迟LQ问题的应用 |
| 5.4 应用举例 |
| 6 总结与进一步研究方向 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
四、由一般鞅驱动的正倒向随机微分方程的比较定理（论文参考文献）
- [1]基于非合作动态博弈的随机切换系统能观性及优化控制[D]. 李智雅. 北京交通大学, 2019(01)
- [2]正倒向随机差分方程理论及其相关的优化问题[D]. 刘浩东. 山东大学, 2018(02)
- [3]Markov机制转移环境下投资保险问题的随机微分博弈研究[D]. 曹铭. 广东工业大学, 2017(01)
- [4]两类倒向随机微分方程解的研究及应用[D]. 曹姗姗. 湖北师范大学, 2016(12)
- [5]一般鞅驱动的倒向随机Volterra积分方程[J]. 赵洁,石玉峰. 山东大学学报(理学版), 2014(07)
- [6]泛函正倒向随机微分方程理论和G-期望下的最优化[D]. 杨淑振. 山东大学, 2014(10)
- [7]非Lipschitz条件下由一般鞅驱动的倒向随机微分方程解的存在性[J]. 李师煜,高武军,刘且根. 江西理工大学学报, 2013(03)
- [8]倒向随机微分方程下的算子表示及Jensen不等式[D]. 张娜. 山东大学, 2012(05)
- [9]倒向随机微分发展系统及其应用[D]. 仇金鸟. 复旦大学, 2012(02)
- [10]平均场正倒向随机微分方程及相关问题的研究[D]. 秦永立. 山东大学, 2012(02)