向量的线性相关性总结论文

问：向量组线性相关性的几种判定方法 论文

1. 答：令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关，若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
   通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。通过向量组的秩研究向量组的相关性。若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的，若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。
   定义
   若x1=c1，x2=c2，…，代入所给方程各式均成立，则称（c1，c2，…，cn）为一个解。若c1，c2，…，cn不全为0，则称（c1，c2，…，cn）为非零解。若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解（0，0，…，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。
2. 答：第一种是利用向量组的秩，如果向量组满秩，则该向量组线性无关，如果不满秩则线性相关。还有一种就是将向量组化成行列式求值，若值不为0则无关，否则相关。其实就是求该向量组的秩，满秩无关，否则相关。如果相关，就把向量组化成行阶梯式，有几阶就将这个行阶梯里面的向量取出来构成最大无关组。

问：关于向量组的线性相关性有哪些意义等价的描述请简单作答？

1. 答：向量线性相关一般指两个向量之间的关系，
   比如向量(1,0,1)与向量向量（2,0,2）线性相关
   而向量组线性相关指两个以及两个以上向量之间关系，
   比如(1,-1,0),(1,0,1)(0,1,1)两两不线性相关,但这三个向量组成的向量组线性相关。

问：向量组的线性相关性

1. 答：若a1, a2 ,a3......,an线性相关，则存在不全为0的k1,k2,k3......kn满足k1*a1+k2*a2+ k3*a3......+kn*an=0 或者若存在不全为0的k1,k2,k3......kn满足k1*a1+k2*a2+ k3*a3......+kn*an=0，则a1, a2 ,a3......,an线性相关，否则a1, a2 ,a3......,an线性无关
2. 答：a1, a2, a3 线性无关，则 r(a1, a2, a3) = 3.
   (a1+a2, 3a2+2a3, a1-2a2+a3) = (a1, a2, a3)P, 其中 P =
   [1 0 1]
   [1 3 -2]
   [0 2 1]
   初等行变换为
   [1 0 1]
   [0 3 -3]
   [0 2 1]
   显然 r(P) = 3, 则 r(a1+a2, 3a2+2a3, a1-2a2+a3) = 3，
   则 a1+a2, 3a2+2a3, a1-2a2+a3 线性无关。
3. 答：设出k1,k2,k3根根据线性无关性解出

问：向量组线性相关的几何意义

1. 答：线性相关，意味着它们在一个更小的维度里。
   如两个向量线性相关，就是它们共线（或叫平行），
   三个向量线性相关，就是它们三个在一个平面内。
2. 答：把向量组的各列向量拼成一个矩阵，求出矩阵的秩。若秩小于向量个数，则向量组线性相关；若秩等于向量个数，则向量组线性无关。

问：向量组的线性相关

1. 答：这个问题可以等价于，向量组 部分相关，则向量组整体相关。这个结论是正确的，但是，如果向量组部分无关，不能推出向量组整体无关。也就是说，向量组增加向量，相关性不变，这个结论是错我的，正因为部分无关不能推出整体无关，所以才有了最大无关组的概念